Wie man unendlich viel Geld verdient (und andere Dinge, die Statistiken belegen können)

Die Coffee + Math-Reihe

Das ist Jack

Dies ist unser zweiter Teil der Coffee + Math-Reihe. Es ist ganz einfach: Wir trinken einen Kaffee und unterhalten uns über unsere bevorzugten mathematischen Gleichungen, mathematischen Fakten und mathematischen Leckerbissen. Was willst du mehr?

Diese Woche hatten wir (eine Mandelmilch) einen Kaffee mit Jack Freestone, einem in Mathspace ansässigen Mathematiker und Uni-Studenten (Hauptfach Mathematik für Fortgeschrittene).

Kaffee der Wahl?

Double-Shot-Mandelmilch-Latte.

"Ja wirklich?" Mandelmilch?

Gib mir eine Pause.

Was ist dein Lieblingsfach in Mathe?

Definitiv Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Können Sie uns ein Beispiel geben?

Ich habe tatsächlich ein ziemlich gutes Beispiel! Ich kann eine Wahrscheinlichkeitstheorie anwenden, um zu zeigen, dass es möglich ist, mit einem Glücksspiel unendlich viel Geld zu verdienen.

Umm, hallo! Worauf wartest du?

Es gibt ein Konzept, das als "Gambler's Ruin Problem" bekannt ist und dies zeigen kann.

Stellen Sie sich vor, Sie haben $ n und entscheiden sich für ein Spiel, bei dem in jeder Runde die Chance besteht, dass Sie mit Wahrscheinlichkeit (p) $ 1 verdienen oder mit Wahrscheinlichkeit (q) $ 1 verlieren.

Jetzt nach ein oder zwei Runden scheinen die Einnahmen ziemlich gering zu sein, aber was cool ist, ist, dass Sie unendlich reich werden könnten. Dies ist möglich, solange Sie eine unbegrenzte Anzahl von Runden spielen und die Gewinnchancen zumindest geringfügig zu Ihren Gunsten sind.

Können Sie uns eine schrittweise Aufschlüsselung geben?

Sicher. Nehmen wir an, Sie spielen mit Ihrem $ n so lange, bis Sie entweder $ N erreichen oder mit $ 0 pleite gehen.

Ist das ein Arcade-Spiel auf der rechten Seite? Ich brauchte keinen Grund, unendlich viel Zeit für eines dieser Dinge aufzuwenden, aber jetzt habe ich eines!

In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit, dass Sie $ N ab $ n erreichen, wie folgt ausgedrückt werden:

Die linke Seite ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ N ab $ n erreicht wird. Die rechte Seite bedeutet: „Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die erste Runde gewinnen und dann $ N ab $ n + 1 erreichen, ODER, dass Sie die erste Runde verlieren und $ n ab $ n - 1 erreichen. "

WARNUNG: Wir müssen diesen Beschriftungsbereich verwenden, um aktuelle Informationen zu liefern, anstatt uns über Jack lustig zu machen! Grafik (1): Ihr gesamtes Vermögen nach dem Gewinn der ersten Runde und dem Erreichen von $ N auf einem bestimmten Weg. Grafik (2): Ihr gesamtes Vermögen, nachdem Sie die erste Runde verloren haben und schließlich auf einem anderen bestimmten Weg $ N erreicht haben.

Da nun p + q = 1 ist, wird die obige Gleichung:

Nach einiger Umlagerung:

Und mit etwas rekursiver Ersetzung:

Da die Wahrscheinlichkeit, ab $ 0 $ N zu erreichen, Null ist:

Wir nennen diese Gleichung (1).

Abgesehen davon können wir zwei Aussagen über die Wahrscheinlichkeit machen, $ N zu erreichen, jetzt beginnend mit $ N:

Wow - Aussage (1) ist viel einfacher als Aussage (2)!

Die erste Aussage besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, ab $ N $ N zu erreichen, 1 ist.

Die zweite Anweisung verwendet die Aufhebung aufeinanderfolgender Begriffe (mit Ausnahme der ersten und der letzten), um die Wahrscheinlichkeit des Erreichens von $ N ab $ N neu zu schreiben.

Durch Einsetzen von Gleichung (1) in die zweite Aussage erhalten wir:

Und mit einigem Umbau:

Wir werden diese Gleichung nennen (2)

Mit den gleichen Verfahren wie oben können wir die folgende Gleichung erreichen:

Und wenn wir Gleichung (2) einsetzen, erhalten wir:

Nehmen wir nun an, dass jede Runde etwas zu Ihren Gunsten ist, d. H. P> q.

Das sind viele Runden, Jack!

Die erste Aussage im obigen Diagramm verwendet die Tatsache, dass der Zähler und der Nenner nur eine geometrische Summe sind.

Mit der zweiten Anweisung nähert sich $ N einer unendlichen Menge an Wohlstand. In diesem Fall wird der Nenner zu 1.

Das Endergebnis zeigt eine positive Wahrscheinlichkeit für die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sukzessive ein unendliches Vermögen ab $ n verdienen.

Betrachten Sie das Gewichtsungleichgewicht einer Münze, um dieses Ergebnis zu beleuchten. Es wird vorgeschlagen, dass die Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 51% auf der nach oben weisenden Seite landet, bevor sie geworfen wird. Angenommen, Sie nehmen an einem Spiel teil, das mit 100 US-Dollar beginnt, wobei jede Runde ein Münzwurf ist. Wie zuvor, wenn Sie das Ergebnis des Wurfs richtig erraten, verdienen Sie 1 $, und wenn nicht, verlieren Sie 1 $. Wenn Sie in jeder Runde die Seite wählen, die nach oben zeigt, bevor sie geworfen wird, liegt Ihre Chance, unendlich viel Geld zu verdienen (wenn Sie so lange leben können), bei mehr als 98%.

Im Grunde ist es also möglich, aber müsstest du für immer leben?

Ziemlich viel!

Warum interessieren Sie sich sonst noch für Statistik und Wahrscheinlichkeit (abgesehen davon, wie Sie unendlich viel Geld verdienen können)?

Zwischen den vielen Witzen und Berührungsängsten in der Schule waren es meine Lehrer, die meine anfängliche Liebe für Mathematik und Englisch weckten. Meine Interessen in beiden Fächern gingen weiter in die Universität, wobei die Mehrheit meiner Einheiten Statistikkurse waren, wobei die Einheit für ungerade Künste hinzukam. Viele Leute denken, dass die beiden Disziplinen (Mathematik und Englisch) im Widerspruch zueinander stehen, aber ich bin anderer Meinung.

Logische Prozesse mit sprachlichen und numerischen Aussagen sind enger miteinander verknüpft, als Sie vielleicht denken. In vielerlei Hinsicht begegnen sich in der Statistik die „Vorstellungswelt des Englischen“ und die „Faktenwelt der Mathematik“.

Statistik funktioniert sehr mathematisch (mit ihrer Notation und strengen Herleitung), aber viel Kreativität und Vorstellungskraft steckt dahinter.

Das Ruinenproblem des Spielers beinhaltet eine kreative Algebra und ein probabilistisches Verständnis der Welt. Die oben verwendeten langwierigen mathematischen Gleichungen dienen lediglich der Darstellung dieser Ideen.

Das Interessante an den Ergebnissen in der Statistik ist, dass sie häufig unserem „Bauchgefühl“ zuwiderlaufen. Sie können uns schockieren und uns ermutigen, tiefer in das einzutauchen, was sie bedeuten. Es ist wie eine überraschende Wendung in einem gut geschriebenen Roman!

Ich bin immer noch überrascht über das Ergebnis des Ruinenproblems des Spielers, aber angesichts seiner Herleitung und seines weiteren Denkens bin ich von seiner Korrektheit und seinem Gefühl getröstet, als hätte ich ein tieferes Verständnis für die Funktionsweise der Welt gewonnen.

Warum ist der Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik so wichtig?

Wir leben in datengetriebenen Zeiten und die Menschen beginnen die Bedeutung von Wahrscheinlichkeit und Statistik wirklich zu schätzen.

Wahrscheinlichkeit und Statistik haben zu vielen Entdeckungen und Innovationen geführt, die es politischen Entscheidungsträgern, Geschäftsleuten und Pädagogen ermöglichen, datenbasierte Entscheidungen zu treffen. Es spielt auch eine wichtige Rolle in Disziplinen, die nicht unmittelbar als mathematisch orientiert gelten, wie Psychologie, Biologie, Anthropologie und Epidemiologie.

In unserem täglichen Leben werden wir oft mit Statistiken konfrontiert, ohne es überhaupt zu merken. Angenommen, Sie haben einhundert Mal eine schöne Münze geworfen, und jedes Mal ist sie auf den Köpfen gelandet. Die unmittelbare Antwort für einige ist, dass es beim nächsten Wurf sicherlich nicht auf den Köpfen landen wird. Und doch tut es das. Dies liegt daran, dass die Münze kein Gedächtnis hat, dass sie zuvor hundert Mal auf dem Kopf gelandet ist, und Ihre Chancen sind immer noch gleich, etwa 50/50.

Können Sie uns etwas über die Geschichte der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie erzählen?

Zwar wurde die Statistik erst im 17. Jahrhundert offiziell entwickelt, doch viele nutzten sie lange zuvor unwissentlich.

Al-Kindi war ein Philosoph und Mathematiker, der im 9. Jahrhundert ein Buch mit dem Titel Manuscript of Deciphering Cryptographic Messages schrieb. Er erklärte, dass eine in einer bestimmten Sprache geschriebene verschlüsselte Nachricht unter Bezugnahme auf die Häufigkeitsverteilung von Buchstaben, die in dieser Sprache erscheinen, entschlüsselt werden könne.

Es gibt einige Tools zum Erstellen eigener verschlüsselter Nachrichten, die dieselbe Idee wie oben verwenden.

Die Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie basiert auf Spielen mit Zufall. Ein bemerkenswertes Beispiel ist das Problem der Punkte. Die Lösungen des Problems können Blaise Pascal und Pierre de Fermat im 17. Jahrhundert zugeschrieben werden.

Das Problem fragt sich, wie die Einsätze eines Spiels gerecht zwischen zwei Spielern aufgeteilt werden könnten, wenn das Spiel in einer bestimmten Runde unterbrochen würde. Einige Mathematiker haben Lösungen vorgeschlagen. Die fairste Methode zur Aufteilung des Vermögens von Spieler 1 und Spieler 2 ist jedoch das Verhältnis von:

Wobei r und s die Anzahl der erfolgreichen Runden sind, die Spieler 1 und Spieler 2 benötigen, um zu gewinnen.

Die linke Seite des Verhältnisses erfasst alle Möglichkeiten, mit denen Spieler 2 möglicherweise nur 0 Runden + 1 Runde + 2 Runden usw. bis zu s - 1 Runden gewinnt. In jedem dieser Fälle gewinnt Spieler 1. Die rechte Seite hat aus Symmetriegründen ein ähnliches Ergebnis für Spieler 2.

Der Einsatz diskreter Kombinatorik und das Konzept des Zufalls motivierten das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Gibt es noch etwas Interessantes hinzuzufügen?

Was ich an Statistik und Wahrscheinlichkeit mag, ist, dass es ein so zugängliches Studienfeld ist. Dies liegt daran, dass es sich im Gegensatz zu langwierigen Gleichungen und vorausgesetztem Wissen weitgehend auf Intuition und konzeptuelles Denken stützt.

Ich habe unten einige meiner "Top-Reads" für alle herausgezogen, die mehr über das Gebiet erfahren möchten.

Satz von Bayes

Sagen Sie, dass bei Ihnen eine Krankheit positiv diagnostiziert wurde. Wie stehen die Chancen, dass Sie es tatsächlich haben? Bayes hat eine Antwort und die Ergebnisse geben möglicherweise keinen Anlass zur Sorge, wie Sie vielleicht denken!

Risiko- und Verlustaversion

Wie können wir Ihren Umgang mit Risiken einschätzen? Machen wir eine Wette. Ich gebe Ihnen 12 US-Dollar, wenn diese Münze auf dem Kopf landet. Wenn es auf dem Schwanz landet, gibst du mir 10 Dollar. Möchten Sie die Wette nicht annehmen? Wie wäre es, wenn wir 100 Mal spielen? Wird dies Ihre Antwort ändern?

David Aldous 'Drehbuch für seinen Vortrag an der Cornell University, 2004.

David Aldous eröffnet einige interessante Punkte zur Wahrscheinlichkeitstheorie, in denen die Psyche von Individuen und die falschen Vorstellungen von Zufällen diskutiert werden.

Möchten Sie mehr aus der Coffee + Math-Reihe lesen? Schauen Sie sich dieses Interview an, in dem es um die Mathematik der Flüssigkeit und die Navier-Stokes-Gleichung geht.